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► CAP : Capacités et grille nationale d'évaluation

Certificat d'Aptitude Professionnel 
Bulletin Officiel de l'Education Nationale
→ Cap mathematiques voie professionnelle 1077315BOEN CAP Mathématiques 2019


Préambule : 
- Co-intervention entre les mathématiques et l’enseignement professionnel

- Utilisation des outils numériques

1 - Statistique – Probabilités
1.1 Statistiques
1.2 Probabilités

2 -  Algèbre – Analyse
2.1 Résolution d’un problème relevant de la proportionnalité
2.2 Résolution d’un problème  du premier degré
2.3 Fonctions

3 - Calculs  commerciaux et financiers
(Groupements 2)

3 - Géométrie (Groupements 1)

- Calculs numériques
- Algorithmique et programmation
- Automatismes (Groupements 1 et 2)
- Automatismes (Groupements 1)

Groupement 1 :
Groupement 2 :

Compétences et Capacités associées
S’approprier
 -   Rechercher, extraire et organiser l’information.
 -   Traduire des informations, des codages.
Analyser - Raisonner
 -   Émettre des conjectures, formuler des hypothèses.
 -   Choisir une méthode de résolution, un protocole.
 -   Élaborer tout ou partie d’un protocole.
 -   Compléter une méthode de résolution.
 -   Choisir des lois pertinentes.
 -   Évaluer des ordres de grandeurs (pour choisir des appareils adaptés).
Réaliser
 -   Mettre en œuvre les étapes d’une démarche.
 -   Mettre en oeuvre un protocole expérimental en respectant les règles de sécurité.
 -   Organiser son poste de travail.
 -   Effectuer des procédures courantes (collectes de données, utilisation du matériel, etc.).
 -   Utiliser un modèle.
 -   Représenter (tableau, graphique, etc.).
 -   Calculer.
 -   Mettre en oeuvre des algorithmes.
 -   Expérimenter (en particulier à l’aide d’outils logiciels ou des dispositifs d’acquisition de données).
 -   Utiliser une simulation.
Valider

 -   Critiquer un résultat (signe, ordre de grandeur, identification des sources d’erreur), argumenter.
 -   Contrôler la vraisemblance d’une conjecture.
 -   Valider ou invalider un modèle, une hypothèse.
 -   Conduire un raisonnement logique et suivre des règles établies pour parvenir à une conclusion.
Communiquer
 À l’écrit comme à l’oral :
 -     rendre compte d’un résultat en utilisant un vocabulaire adapté et choisir des modes de représentation appropriés ;
 -     expliquer une démarche.

 1.1 Statistiques
Recueillir et organiser des données.
Regroupement par classes d’une série statistique.
Calculer un effectif total, calculer des fréquences, mentalement dans quelques cas simples*, avec une calculatrice ou un tableur dans les autres cas.
Effectifs, fréquences.
Lire et interpréter les données d’une série statistique présentées dans un tableau ou représentées graphiquement, sous forme de classes ou non.
Représenter une série statistique par un diagramme en bâtons ou circulaire, sur papier dans quelques cas simples puis à l’aide d’un logiciel.
Diagrammes en bâtons, diagrammes circulaires.
Calculer la moyenne d’une série statistique mentalement dans quelques cas simples*, avec une calculatrice ou un tableur dans les autres cas.
Moyenne.
Commentaires: Lorsque les données sont en grand nombre, elles sont systématiquement traitées à l’aide d’un tableur.Le calcul de la moyenne à l’aide du centre des classes ainsi que la construction et l’interprétation d’histogrammes ne sont pas des attendus du programme

1.2 Probabilités
Expérimenter pour mettre en évidence la fluctuation des fréquences. 
Expérience aléatoire, ensemble des issues possibles, événement. Fluctuation d’une fréquence relative à un caractère, sur des échantillons de taille n fixée.
Observer la stabilisation des fréquences, notamment à l’aide d’une simulation informatique fournie.Stabilisation  des  fréquences  vers  la  probabilité  de l'événement    lorsque    la    taille    de    l’échantillon augmente.
Calculer des probabilités dans des cas simples.
Probabilité d’un événement. La probabilité d’un événement est comprise entre 0 et 1. Probabilités    d’événements    impossibles,    certains, contraires.
Exemple d’algorithme :  Modifier le script d’un programme fourni pour simuler une expérience aléatoire.
Commentaires: La mise en évidence de la fluctuation et la vérification de la stabilisation des fréquences s’appuient sur la simulation d’expériences aléatoires à une épreuve, à l’aide d’un script fourni ou d’une feuille de calcul préparée. L’ensemble des issues est fini. Les calculs de probabilités, à partir de dénombrements, s’appliquent à des contextes simples concernant une expérience aléatoire à une ou deux épreuves indépendantes. Si des tableaux à double entrée sont utilisés, ils sont fournis aux élèves déjà partiellement complétés. La construction d’un arbre de dénombrement peut aider à la compréhension de la situation étudiée.

2.1 Résolution d’un problème relevant de la proportionnalité
- Reconnaître que deux suites de nombres sont proportionnelles.
- Calculer une quatrième proportionnelle*.
- Traiter des problèmes relatifs à deux suites proportionnelles de nombres.
Étant donné un tableau numérique incomplet lié à deux suites proportionnelles de nombres :
- Trouver le coefficient de proportionnalité* permettant de passer d’une suite à l’autre ;
- Compléter le tableau.
Proportionnalité : suites proportionnelles de nombres ; coefficient de proportionnalité.
Traiter des problèmes de pourcentages et d’échelles liés à la vie courante ou professionnelle.
Connaissant deux des données suivantes :  pourcentage ou échelle, valeur initiale, valeur finale, calculer la troisième*.
Pourcentage et échelle. Coefficients multiplicateurs.
Exemple d'algorithme : Calculer  une  des  valeurs  connaissant  les  deux  autres  parmi  :  pourcentage  ou  échelle,  valeur initiale, valeur finale.
Commentaires :  Les calculs commerciaux ou financiers peuvent être présentés à titre d’exemple (conversion des monnaies, indices simples d‘un prix). Toutes les informations nécessaires sont fournies.
Dans le cadre de la bivalence: La proportionnalité est mise en œuvre dans les domaines Électricité, Mécanique et Chimie du programme de physique-chimie.

2.2 Résolution d’un problème  du premier degré
Résoudre   algébriquement   une   équation   du   type ax + b = c* où x  est l’inconnue (a , b et c  étant des nombres réels, a  non nul). 
Modéliser    un    problème   par    une    équation    du premier degré à une inconnue et le résoudre.
Méthode de résolution algébrique d'une équation du premier degré à une inconnue
Commentaires : Les  résolutions d’équations sont  évaluées dans le  contexte  d’un  problème  ou  d’une  situation professionnelle.     Les     élèves     doivent     cependant     être     entraînés     à     des     résolutions décontextualisées, dans le cadre de la formation.
Les  problèmes  abordés  peuvent  se  ramener  à  des  équations  du  premier  degré  du  type : ax + b = cx + d.
Cependant, toute virtuosité calculatoire est exclue.
Compléments du programme
  • Inéquations  du  premier  degré  à  une  inconnue  :  résolution  graphique,  à  l’aide  des  outils numériques, d’inéquations permettant de résoudre un problème issu du domaine professionnel s’y ramenant.
  • Systèmes de deux équations du premier degré  à deux inconnues : résolution graphique, à l’aide des outils numériques, de problèmes issus du domaine professionnel s’y ramenant.
Dans le cadre de la bivalence: Ce module est mis en œuvre dans les domaines Électricité et Mécanique du programme de physique-chimie.

2.3 Fonctions
Obtenir
- l’image d’un nombre réel par une fonction donnée ;
- un éventuel antécédent d’un nombre par une fonction donnée ;
- un tableau de valeurs d’une fonction donnée.
Notion de fonction: notation f(x); tableau de valeurs ;  Variable, fonction, antécédent, image
Dans un plan muni d’un repère orthogonal :
placer un point connaissant ses coordonnées cartésiennes* ;
construire la représentation graphique d’une fonction donnée.
Repérage dans un plan : coordonnées cartésiennes d’un point. Courbe représentative d’une fonction.
À partir de la représentation graphique, sur un intervalle [a; b] donné, d’une fonction f :
donner l’image d’un nombre réel par f* ;
donner un ou plusieurs antécédents éventuels d’un nombre réel par f* ;
décrire les variations de f avec un vocabulaire adapté* ;
compléter un tableau de variations.
Intervalle [a;b], où a et b sont des réels. Fonction croissante ou décroissante sur un intervalle donné. Tableau de variations.
Vérifier qu’une fonction est linéaire connaissant un des modes de représentation suivants : un tableau de valeurs ;une représentation graphique ; son expression algébrique.
Fonction linéaire. Passer d’un mode de représentation à un autre.
Déterminer la fonction linéaire qui modélise une situation de proportionnalité.
Lien avec une situation de proportionnalité. Notation : f(x) = ax, où a est un nombre réel non nul, coefficient de proportionnalité.
Exemple d’algorithme : Construire un tableau de valeurs d’une fonction linéaire.
Commentaires : Les axes et l’origine du repère sont donnés, les axes sont gradués. Dresser en toute autonomie un tableau de variations n’est pas exigible.
Complément du programme :
- Fonction  affine :  notation f(x) = ax + b , où a et b sont  des  nombres  donnés  en  écriture décimale.
- Représentation graphique d’une fonction affine. Le lien entre le sens de variation et le  signe  du  coefficient a est  établi.
 L’exploitation  de  la  représentation  graphique  se  fait  en liaison avec le domaine professionnel.
Dans le cadre de la bivalence : Ce module est mis en œuvre dans les domaines Thermique et Électricité du programme de physique-chimie.

3.1 Calculs  commerciaux et financiers (Groupement 2)
Compléter une facture, un bon de commande,
Réaliser un devis en déterminant dans le cadre de situations professionnelles : un prix ;   un coût ; une marge ; une taxe ;  une réduction commerciale (remise, rabais, ristourne) ; un taux.
Pourcentages. Coefficients multiplicateurs.
Calculer le montant : d’un intérêt simple ;  d’une valeur acquise.
Déterminer graphiquement ou par le calcul :
- un taux annuel de placement ; la durée de placement (exprimée en jours, quinzaines, mois ou années) ;
- le montant du capital placé.
Capital, taux, intérêt, valeur acquise.
Exemples d’algorithme : Calculer le montant d’un intérêt simple. Calculer le montant net à payer après une remise pour une facture.
Commentaires :Si  une  situation  contextualisée  utilise  un  vocabulaire  dédié  ou  une  formule  spécifique,  ce vocabulaire sera explicité et les différents éléments permettant les calculs seront donnés. Retrouver  le  montant  du  capital  placé  à  partir  de  la  valeur  acquise,  du  taux  annuel  et  de  la durée de placement n’est pas un attendu de certification.
Compléments du programme :
Grandeurs proportionnelles : les partages proportionnels peuvent être traités s’ils sont en liaison directe avec l’enseignement professionnel et s’ils lui sont utiles.

3.1 Géométrie  (Groupement 1)
Tracer aux instruments la première fois,puis à l’aide de l’outil numérique :
- un segment de même longueur qu’un segment donné ;
- la médiatrice d’un segment* ;
- une parallèle, une perpendiculaire à une droite, passant par un point* ;
- un angle de mesure donnée*.
Identifier dans une figure codée que deux droites sont perpendiculaires ou parallèles*.
Segment, droite, angle.
Mesurer la longueur d’un segment à l’aide d’un instrument approprié (règle graduée, etc.)*.
Tracer et mesurer un angle à l’aide d’un rapporteur.
Unités de mesure (longueurs, angles).
Tracer aux instruments la première fois, puis à l’aide de l’outil numérique des figures planes usuelles.
Figures planes usuelles : triangle isocèle, triangle équilatéral, triangle rectangle, rectangle, losange, parallélogramme, carré, cercle.
Reconnaître, nommer une figure plane usuelle*.
Identifier les figures usuelles constituant une figure donnée.
Propriétés caractéristiques des quadrilatères portant sur les diagonales ou sur les côtés.
Construire aux instruments la première fois, puis à l’aide de l’outil numérique, l’image d’une figure simple dans le plan par symétrie centrale ou axiale.
Identifier, dans une figure donnée, une droite comme axe de symétrie, un point comme centre de symétrie.
Symétrie centrale, axiale : définition, propriété de conservation des longueurs, des angles géométriques.
Superposition d’une figure et de son image par symétrie axiale par pliage selon l’axe de symétrie.
Reconnaître, nommer un solide usuel*.
Nommer les solides usuels constituant d'autres solides.
Solides usuels : le cube, le pavé droit, la pyramide, le cylindre droit, le cône, la boule.
Utiliser les théorèmes et les formules pour calculer le périmètre d’un triangle, d’un carré, d’un rectangle, d’un cercle ;
Formule du périmètre d’un carré, d’un rectangle, d’un cercle.
Calculer l’aire d’un triangle, d’un carré, d’un rectangle, d’un disque, d’un parallélogramme ;
Formule de l’aire d’un triangle, d’un carré, d'un rectangle, d’un disque.
Calculer le volume d’un cube, d’un pavé droit, d’un cylindre droit, d’une boule ;
Formule du volume d’un cube, d’un parallélépipède rectangle, d’un cylindre droit, d’une boule.
Calculer la mesure, en degré, d’un angle d’un triangle, connaissant les mesures des deux autres angles ;
Somme des mesures, en degré, des angles d’un triangle.
Calculer la longueur d’un segment.
Le théorème de Pythagore et sa réciproque. Le théorème de Thalès dans le triangle.
Convertir des unités de longueur, d’aire et de volume*.
Exemples d’algorithme
- Tracer un carré connaissant la longueur de son côté.
- Tracer un rectangle de longueur et de largeur données.
- Construire une figure composée de plusieurs triangles ou rectangles.
- Calculer le volume d’un cylindre connaissant son diamètre et sa hauteur.
- Calculer le volume d’une boule connaissant son diamètre.
- Formaliser par un organigramme la réciproque du théorème de Pythagore.
Dans le cadre de la bivalence : Les constructions géométriques et les mesures de longueurs et d’angles sont mises en œuvre dans les domaines Mécanique et Optique du  programme de physique-chimie.
Compléments du programme:
Trigonométrie dans le triangle rectangle
- Donner  la  valeur  exacte  ou  une  valeur  arrondie  du  cosinus,  du  sinus  ou  de  la  tangente  d’un angle donné en degré ;
- Donner à partir du cosinus, du sinus ou de la tangente d’un angle, la mesure en degré, exacte ou arrondie, de cet angle ;
- Déterminer dans un triangle rectangle la mesure en degré d’un angle ;
- Déterminer dans un triangle rectangle la longueur d’un côté.

Calculs numériques
Effectuer soit mentalement, soit « à la main », soit à la calculatrice un calcul isolé sur des nombres en écriture décimale faisant intervenir l’une au moins des opérations : addition / soustraction / multiplication /division à 10−
Déterminer rapidement un ordre de grandeur.
Convertir une mesure exprimée dans le système décimal en une mesure exprimée dans le système sexagésimal, et réciproquement.
Ordonner une liste de nombres donnés en écriture décimale.
Utiliser la notation scientifique pour obtenir un ordre de grandeur.
Déterminer la valeur arrondie à 10−

Algorithmique et programmation
Décomposer un problème en sous-problèmes.
Écrire une séquence d’instructions.
Écrire, mettre au point (tester et corriger) et exécuter un programme en réponse à un problème donné.
Notion de variable. Principe d’entrée-sortie d’un programme. Instructions conditionnelles, boucles.

Automatismes
(Groupements 1 et 2)
Multiplication d’un nombre par 10, par 100, par 0,1 ou par 0,01 ;
Calcul mental d’additions ou de multiplications simples ;
Règles des signes pour les produits ou les quotients d’entiers relatifs ;
Addition de fractions simples, multiplication de fractions ;
Calcul   ou   application   d’une   proportion   sous   différentes   formes   (décimale,   fractionnaire, pourcentage) ;
Passage d’une écriture fractionnaire à une écriture décimale ;
Comparaison de nombres donnés en écriture décimale ;
Comparaison de nombres rationnels donnés en écriture fractionnaire ou scientifique ;
Transformation de formules ;
Procédures de résolution d’équations du type a x= b ; a + x = b ;
Détermination d’une valeur arrondie ;
Conversion   d’une   durée   exprimée   en   heures   et  minutes   dans   le   système   décimal   et réciproquement.

Automatismes
(Uniquement groupement 1 )
Carré d’un nombre entier inférieur ou égal à 10, racine carrée d’un carré parfait d’un nombre entier inférieur ou égal à 100 ;
Conversion des unités de longueurs, d’aires et de volumes ;
Mesure de la distance d’un point à une droite ; Mesure de la distance entre deux droites parallèles.
Calcul d’un effectif total, calcul de fréquences, mentalement dans quelques cas simples ;
Calcul de la moyenne d’une série statistique, mentalement dans quelques cas simples ;
Calcul d’une quatrième proportionnelle ;

Calcul d’une quatrième proportionnelle ;
Détermination  d’un  coefficient  de  proportionnalité  d’un  tableau  comportant  deux  suites  de nombres proportionnelles ;
Calcul  d’une  des  valeurs  connaissant  les  deux  autres  parmi  :  pourcentage  ou  échelle,  valeur initiale, valeur finale ;
Résolution algébrique d’une équation se ramenant à une équation du type a + b = c où x est l’inconnue a,b et c  étant des nombres réels, a étant non nul) ;
Placement d’un point connaissant ses coordonnées cartésiennes dans un plan muni d’un repère orthogonal ;
À  partir  de  la  représentation  graphique  d’une  fonction f,  sur  un  intervalle  [a;b]  donné, lecture :
- de l’image d’un nombre réel par f ;
- des antécédents éventuels d’un nombre réel par f ;
- des variations de f avec un vocabulaire adapté.
Construction  de  la  médiatrice  d’un  segment,  d’une  parallèle,  d’une  perpendiculaire  à  une droite, passant par un point ; d’un angle de mesure donnée ;
Identification dans une figure codée de deux droites perpendiculaires ou parallèles ;
Mesure de la longueur d’un segment à l’aide d’un instrument approprié ;
Identification d’une figure plane usuelle, d’un solide usuel.